Exercice 13, § 11

Soit $\theta$ un nombre irrationnel. On considère l’application $f$ de la droite numérique $\mathbf{R}$ dans le tore $\mathbf{T}^2$ qui, à tout point $t \in \mathbf{R}$, fait correspondre l’image canonique dans $\mathbf{T}^2$ du point $(t, \theta t) \in \mathbf{R}^2$; $f$ est injective et continue. Montrer que pour la topologie $\mathscr{T}$ image réciproque par $f$ de la topologie de $\mathbf{T}^2$, $\mathbf{R}$ est connexe mais aucun point de $\mathbf{R}$ n’admet de système fondamental de voisinages connexes.*