Exercice 15, § 11

Soit X un espace connexe et localement connexe.

a) Soient M, N deux ensembles fermés non vides sans point commun dans X. Montrer qu’il existe une composante connexe de $\mathscr{C}(M \cup N)$ ayant des points adhérents dans M et dans N. (Si C est une composante connexe de $\mathscr{C}(M \cup N)$, n’ayant pas de point adhérent dans M, remarquer que C est à la fois ouvert et fermé par rapport à $\mathscr{C}N$.)

b) Si A est un ensemble fermé dans X et distinct de X, déduire de a) que toute composante connexe de A rencontre l’adhérence de $\mathscr{C}A$.