Exercice 2, § 11

a) Soient X un espace topologique, $\mathscr{T}$ sa topologie. Montrer que si X, muni de la topologie semi-régulière $\mathscr{T}^*$ associée à $\mathscr{T}$ (I, p. 103, exerc. 20), est connexe, alors X est connexe pour la topologie $\mathscr{T}$. En déduire qu’il existe des espaces submaximaux connexes (I, p. 103, exerc. 22).

b) Former en particulier sur $\mathbf{R}$ une topologie plus fine que la topologie usuelle, pour laquelle $\mathbf{R}$ est connexe mais aucun point n’admet de système fondamental de voisinages connexes (cf. IV, p. 49, exerc. 14 c)).