Bài tập 2, § 11

a) Cho $X$ là một không gian tôpô và $\mathfrak{T}$ là tôpô của $X$. Hãy chỉ ra rằng nếu $X$ là liên thông trong tôpô nửa chính quy $\mathfrak{T}^*$ liên kết với $\mathfrak{T}$ (§ 8, Bài tập 20), thì $X$ là liên thông trong tôpô ban đầu $\mathfrak{T}$. Suy ra rằng tồn tại các không gian liên thông dưới cực đại (§ 8, Bài tập 22).

*b) Đặc biệt, hãy xây dựng một tôpô trên đường thẳng thực $\mathbf{R}$, sao cho đối với tôpô đó $\mathbf{R}$ là liên thông nhưng không có điểm nào của $\mathbf{R}$ có một hệ lân cận liên thông cơ bản [xem Chương IV, § 2, Bài tập 14 c)].