Exercice 22, § 11

a) Dans un espace extrêmement discontinu (exerc. 21), tout sous-espace ouvert et tout sous-espace partout dense sont extrêmement discontinus.

b) Soit $X$ un espace séparé tel que tout point de $X$ ait un voisinage dans $X$ qui soit un sous-espace extrêmement discontinu. Montrer que $X$ est extrêmement discontinu.

c) Donner un exemple d’espace séparé $X$ non extrêmement discontinu et dans lequel il existe un sous-espace ouvert partout dense extrêmement discontinu (recoller deux espaces extrêmement discontinus).

d) Soient $X$ un espace discret dénombrable, $\tilde{X}$ l’espace (compact) des ultrafiltres sur $X$ (I, p. 110, exerc. 27). Soit $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ une partition dénombrable infinie de $X$ en ensembles infinis; dans le sous-espace fermé $Y = \tilde{X} - X$ de $\tilde{X}$, les ensembles $B_n = \overline{A_n} \cap Y$ sont à la fois ouverts et fermés et deux à deux disjoints. Soit $B = \bigcup_n B_n$; montrer que l’adhérence $\overline{B}$ de $B$ dans $Y$ n’est pas ouverte dans $Y$, et par suite que $Y$ n’est pas extrêmement discontinu.$^1$ (Raisonner par l’absurde: utilisant l’exerc. 20 (I, p. 118), soit $C$ un ensemble à la fois ouvert et fermé dans $\tilde{X}$ tel que $C \cap Y = \overline{B}$; considérer un point $x_n$ dans chacun des ensembles $C \cap A_n$, l’ensemble $J$ des $x_n$ et son adhérence $\overline{J}$, et montrer que $\overline{J} \cap B = \varnothing$).