Bài tập 22, § 11

a) Chứng minh rằng trong một không gian rời rạc cực đại, mọi không gian con mở và mọi không gian con trù mật đều là rời rạc cực đại.

b) Cho $X$ là một không gian Hausdorff trong đó mỗi điểm có một lân cận là một không gian con rời rạc cực đại của $X$. Chứng minh rằng $X$ là rời rạc cực đại.

c) Cho một ví dụ về một không gian Hausdorff $X$ không rời rạc cực đại nhưng có một không gian con mở trù mật rời rạc cực đại (ghép lại hai không gian rời rạc cực đại).

d) Cho $X$ là một không gian rời rạc đếm được, $\tilde{X}$ là không gian (compact) của các siêu lọc trên $X$ (§ 9, Bài tập 26). Cho $(A_n)_{n \in \mathbf{N}}$ là một phân hoạch đếm được vô hạn của $X$ thành các tập con vô hạn; trong không gian con đóng $Y = \tilde{X} - X$ của $\tilde{X}$, các tập hợp $B_n = \tilde{X}_n \cap Y$ là mở và đóng và rời nhau từng đôi một. Cho $B = \bigcup_n B_n$; chứng minh rằng bao đóng $\overline{B}$ của $B$ trong $Y$ không mở trong $Y$, và do đó $Y$ không rời rạc cực đại (*). (Sử dụng phản chứng: sử dụng Bài tập 20, cho $C$ là một tập con mở và đóng của $\tilde{X}$ sao cho $C \cap Y = \overline{B}$; xét một điểm $x_n$ trong mỗi tập hợp $C \cap A_n$, cho $\overline{J}$ là bao đóng của tập hợp $J$ các điểm $x_n$, và chứng minh rằng $\overline{J}$ không gặp $B$).

(*) Bài tập 21 h) và 22 d) là của R. Ricabarra.