Exercice 24, § 11

Soit $a$ un cardinal infini quelconque. Montrer qu’il existe un espace séparé connexe $X$ dans lequel tout ensemble ouvert non vide ait un cardinal égal à $a$. (Pour le cas où $a = \mathrm{Card}(\mathbf{N})$, voir I, p. 115, exerc. 1; soit $X_0$ l’espace correspondant. Si $a > \mathrm{Card}(\mathbf{N})$ et si $T$ est un ensemble tel que $\mathrm{Card}(T) = a$, considérer, dans l’espace produit $X_0^T$, un point $p$, et le sous-espace $X$ des $f \in X_0^T$ tels que $f(t) = p(t)$ sauf pour un nombre fini de valeurs de $t \in T$).

$^1$ Les exerc. 21 h) et 22 d) nous ont été communiqués par R. Ricabarra.