Bài tập 24, § 11

Cho $X$ là một không gian tôpô. a) Cho tập hợp $\mathfrak{P}_0(X)$ mang một trong các tôpô $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$ ($§ 2$, Bài tập 7) hoặc $\mathfrak{T}_\Theta$ ($§ 8$, Bài tập 12). Chứng minh rằng nếu một tập con $\mathfrak{B}$ của $\mathfrak{P}_0(X)$ là liên thông và nếu mỗi $M \in \mathfrak{B}$ là liên thông, thì $\bigcup_{M \in \mathfrak{B}} M$ là liên thông. b) Cho $\mathfrak{S}$ là một tập con của $\mathfrak{P}_0(X)$ chứa tập hợp tất cả các tập con hữu hạn không rỗng của $X$. Chứng minh rằng nếu $X$ là liên thông thì $\mathfrak{S}$ cũng vậy [dùng Bài tập 7 b) của $§ 2$ và Mệnh đề 8 của $§ 4$, xét các ánh xạ $(x_1, \ldots, x_n) \to \{ x_1, \ldots, x_n \}$].