Exercice 29, § 11

Soient $Y$ un espace localement compact, connexe et localement connexe, $N$ une partie fermée de $Y$ telle que, pour tout ouvert connexe non vide $V$ dans $Y, V \cap (Y - N)$ sont non vide et connexe. Soient $X$ un espace séparé, $f : X \to Y - N$ un homéomorphisme local propre (exerc. 27). a) Montrer qu’il existe un espace localement compact, connexe et localement connexe $Z$, un homéomorphisme $j$ de $X$ sur une partie ouverte partout dense de $Z$ et une application propre $g$ de $Z$ dans $Y$, tels que $g(y)$ soit fini pour tout $y \in Y$ et que $f = g \circ j$. (Observer d’abord que pour tout ensemble ouvert connexe $W \subset Y - N$, et toute composante connexe $C$ de $f^{-1}(W)$, on a $f(C) = W$; par suite, si $n$ est le cardinal de $f^{-1}(y)$ pour tout $y \in Y - N$, $^{-1}f(W)$ a au plus $n$ composantes connexes. En déduire que pour tout $y \in \mathbf{N}$, il y a au plus filtres sur $\mathbf{X}$ ayant une base formée de composantes connexes des ensembles $^{-1}f(V)$, où V parcourt l’ensemble des voisinages ouverts connexes de $y$ dans $\mathbf{Y}$. Soit S l’ensemble de tous ces filtres lorsque $y$ parcourt $\mathbf{N}$. Prendre pour $Z$ un ensemble somme de $\mathbf{X}$ et de S ; on définit les voisinages d’un point $\mathfrak{F} \in S$ de la façon suivante : $\mathfrak{F}$ admet une base formée de composantes connexes C d’ensembles $^{-1}f(V)$, où V parcourt l’ensemble des voisinages ouverts connexes d’un point $y \in \mathbf{N}$. Pour chacun de ces ensembles C, on considère l’ensemble $\tilde{C}$ des filtres $F' \in S$ auquel C appartient aussi, et les ensembles $\tilde{C}$ ainsi définis forment par définition un système fondamental de voisinages de $\mathfrak{F}$ dans $Z$).

b) Montrer que si $Z_1$, $g_1$ et $j_1$ sont un espace localement compact connexe et localement connexe et deux applications ayant les mêmes propriétés que $Z$, $g$ et $j$, il existe un homéomorphisme $h$ de $Z$ sur $Z_1$ tel que $j_1 = h \circ j$ et $g = g_1 \circ h$. (Utiliser l’exerc. 28).