Bài tập 29, § 11

Cho $Y$ là một không gian compact địa phương, liên thông và liên thông địa phương, $N$ là một tập con đóng của $Y$ sao cho, với mọi tập con mở liên thông khác rỗng $V$ trong $Y, V \cap (Y - N)$ là khác rỗng và liên thông. Cho $X$ là một không gian tách, $f : X \to Y - N$ là một đồng phôi địa phương thực sự (bài tập 27). (a) Bây giờ chứng minh rằng tồn tại một không gian $Z$ compact địa phương, liên thông và liên thông địa phương, một đồng phôi $j$ của $X$ lên một tập con mở trù mật khắp nơi của $Z$ và một ánh xạ thực sự $g$ của $Z$ vào $Y$, sao cho $g(y)$ là hữu hạn với mọi $y \in Y$ và $f = g \circ j$. (Trước hết nhận xét rằng với mọi tập mở liên thông $W \subset Y - N$, và mọi thành phần liên thông $C$ của $f^{-1}(W)$, ta có $f(C) = W$; do đó, nếu $n$ là lực lượng của $f^{-1}(y)$ với mọi $y \in Y - N$, $^{-1}f(W)$ có nhiều nhất $n$ thành phần liên thông. Suy ra rằng với mọi $y \in \mathbf{N}$, có nhiều nhất các lọc trên $\mathbf{X}$ có một cơ sở được tạo bởi các thành phần liên thông của các tập $^{-1}f(V)$, trong đó V chạy qua tập các lân cận mở liên thông của $y$ trong $\mathbf{Y}$. Gọi S là tập hợp tất cả các lọc này khi $y$ chạy qua $\mathbf{N}$. Lấy cho $Z$ một tập hợp tổng của $\mathbf{X}$ và S; các lân cận của một điểm $\mathfrak{F} \in S$ được định nghĩa như sau: $\mathfrak{F}$ có một cơ sở được tạo bởi các thành phần liên thông C của các tập $^{-1}f(V)$, trong đó V chạy qua tập các lân cận mở liên thông của một điểm $y \in \mathbf{N}$. Với mỗi tập C này, xét tập $\tilde{C}$ gồm các lọc $F' \in S$ mà C cũng thuộc vào, và các tập $\tilde{C}$ được định nghĩa như vậy tạo thành theo định nghĩa một hệ cơ sở các lân cận của $\mathfrak{F}$ trong $Z$).

(b) Bây giờ chứng minh rằng nếu $Z_1$, $g_1$ và $j_1$ là một không gian compact địa phương liên thông và liên thông địa phương cùng với hai ánh xạ có các tính chất giống như $Z$, $g$ và $j$, thì tồn tại một đồng phôi $h$ của $Z$ lên $Z_1$ sao cho $j_1 = h \circ j$ và $g = g_1 \circ h$. (Dùng bài tập 28).