Exercice 4, § 11

Soit X un espace connexe ayant au moins deux points. a) Soient A une partie connexe de X, B une partie de $\mathscr{C}A$, ouverte et fermée par rapport à $\mathscr{C}A$; montrer que $A \cup B$ est connexe. (Appliquer l’exerc. 5 de I, p. 93 à $Y = A \cup B$ et $Z = \mathscr{C}A$.) b) Soient A une partie connexe de X, B une composante connexe de l’ensemble $\mathscr{C}A$; montrer que $\mathscr{C}B$ est connexe (utiliser a)). c) Déduire de b) qu’il existe dans X deux parties connexes M, N, distinctes de X et telles que $M \cup N = X, M \cap N = \varnothing$.