Bài tập 4, § 11

Cho $X$ là một không gian liên thông có ít nhất hai điểm.

a) Cho $A$ là một tập con liên thông của $X$, $B$ là một tập con của $\mathbf{C}A$ vừa mở vừa đóng trong $\mathbf{C}A$. Chứng minh rằng $A \cup B$ là liên thông. (Áp dụng Bài tập 5 của § 3 cho $Y = A \cup B$ và $Z = \mathbf{C}A$.)

b) Cho $A$ là một tập con liên thông của $X$ và $B$ là một thành phần của tập hợp $\mathbf{C}A$. Chứng minh rằng $\mathbf{C}B$ là liên thông [dùng a)].

c) Suy ra từ b) rằng tồn tại hai tập con liên thông $M, N$ của $X$ phân biệt với $X$ và sao cho $M \cup N = X$ và $M \cap N = \varnothing$.