Exercice 11, § 3

Soient X un espace topologique, $\mathscr{T}$ sa topologie, A un sous-espace partout dense de X. Montrer que l’ensemble des topologies sur X plus fines que $\mathscr{T}$, pour lesquelles A est partout dense, et qui induisent sur A la même topologie que $\mathscr{T}$, admet au moins un élément maximal; on dit qu’un tel élément est une topologie A-maximale. Pour qu’une topologie $\mathscr{T}_0$ sur X soit A-maximale, il faut et il suffit que les parties de X ouvertes pour $\mathscr{T}_0$ soient les parties M de X telles que $A \cap M$ soit dense dans M (pour $\mathscr{T}_0$) et ouvert dans A. Le sous-espace $\mathfrak{g}A$ est alors discret pour la topologie induite par $\mathscr{T}_0$ et fermé dans X. Montrer que si $\mathscr{T}_0$ est A-maximale, et si la topologie qu’elle induit sur A est quasi-maximale (I, p. 91, exerc. 6), alors $\mathscr{T}_0$ est quasi-maximale.