Bài tập 11, § 3

Cho $X$ là một không gian tôpô, $\mathfrak{T}$ là tôpô của $X$, $A$ là một không gian con trù mật của $X$. Chứng minh rằng tập hợp các tôpô trên $X$ mịn hơn $\mathfrak{T}$, trong đó $A$ là trù mật trong $X$, và cảm sinh cùng một tôpô như $\mathfrak{T}$ trên $A$, có ít nhất một phần tử cực đại; một phần tử cực đại như vậy được gọi là một tôpô $A$-cực đại. Chứng minh rằng một tôpô $\mathfrak{T}_0$ trên $X$ là $A$-cực đại khi và chỉ khi mọi tập con $M$ của $X$, sao cho $A \cap M$ là trù mật trong $M$ (đối với $\mathfrak{T}_0$) và mở trong $A$, là mở trong tôpô $\mathfrak{T}_0$, và khi đó không gian con $CA$ là rời rạc trong tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_0$, và là đóng trong $X$. Cũng chứng minh rằng nếu $\mathfrak{T}_0$ là $A$-cực đại và nếu tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_0$ trên $A$ là quasi-cực đại (§ 2, Bài tập 6) thì $\mathfrak{T}_0$ là quasi-cực đại.