Exercice 15, § 3

On considère dans $\mathbf{R}$ les sous-espaces $X_1 = ]-1, 1[, X_2 = ]-2, -1[$ et $X_3 = ]1, 2[$; soit X leur réunion, qui est aussi somme de ces trois espaces. Soient $A_2$ (resp. $A_3$) l’ensemble des nombres irrationnels contenus dans $X_2$ (resp. $X_3$); $B_1$ (resp. $B_2$) l’ensemble des nombres rationnels contenus dans $]-1, 0[$ (resp. dans $X_2$); $C_1$ (resp. $C_3$) l’ensemble des nombres rationnels contenus dans $]0, 1[$ (resp. dans $X_3$). Soit X/R l’espace obtenu par recollement des $X_i$: 1° le long de $A_2$ et $A_3$ au moyen de l’homéomorphisme $x \mapsto x + 3$; 2° le long de $B_1$ et $B_2$ au moyen de l’homéomorphisme $x \mapsto x - 1$; 3° le long de $C_1$ et $C_2$ au moyen de l’homéomorphisme $x \mapsto x + 1$. Montrer que l’image canonique de $X_1$ dans X/R n’est pas homéomorphe à $X_1$. Si $Y = X_1 \cup B_2 \cup C_3$ est le saturé de $X_1$ pour R, l’espace quotient $Y/R_Y$ n’est pas homéomorphe à l’image canonique de Y dans X/R.*