Bài tập 15, § 3

Xét ba không gian con sau đây của $\mathbf{R}$: $X_1 = ] - 1, 1[$, $X_2 = ] - 2, - 1[, X_3 = ] 1, 2[$. Gọi $X$ là hợp của chúng; khi đó $X$ là tổng của ba không gian con này. Gọi $A_2$ (resp. $A_3$) là tập hợp các số vô tỉ được chứa trong $X_2$ (resp. $X_3$); gọi $B_1$ (resp. $B_2$) là tập hợp các số hữu tỉ được chứa trong ]—$1, 0[$ (resp. $X_2$); và gọi $C_1$ (resp. $C_3$) là tập hợp các số hữu tỉ được chứa trong ]$0, 1[$ (resp. $X_3$). Gọi $X/R$ là không gian thu được bằng cách dán các $X_i$ với nhau (i) dọc theo $A_2$ và $A_3$ nhờ phép đồng phôi $x \to x + 3$; (ii) dọc theo $B_1$ và $B_2$ nhờ phép đồng phôi $x \to x - 1$; (iii) dọc theo $C_1$ và $C_3$ nhờ phép đồng phôi $x \to x + 1$. Chứng minh rằng ảnh chính tắc của $X_1$ trong $X/R$ không đồng phôi với $X_1$. Nếu $Y = X_1 \cup B_2 \cup C_3$ là tập bão hòa của $X_1$ đối với $R$, hãy chứng minh rằng không gian thương $Y/R_Y$ không đồng phôi với ảnh chính tắc của $Y$ trong $X/R$. \*