Exercice 4, § 3

Soient $Y, Z$ deux sous-espaces d’un espace topologique $X$ tels que $X = Y \cup Z$; si on pose $A = Y \cap \complement Z, B = Z \cap \complement Y$, on suppose que $\overline{A} \cap B = \overline{B} \cap A = \varnothing$. C’est le cas si $Y$ et $Z$ sont tous deux ouverts, ou tous deux fermés. a) Montrer que pour toute partie $M$ de $X$, l’adhérence de $M$ dans $X$ est la réunion de l’adhérence de $M \cap Y$ par rapport à $Y$ et de l’adhérence de $M \cap Z$ par rapport à $Z$. En déduire que si $M \cap Y$ est fermée (resp. ouverte) dans $Y$ et si $M \cap Z$ est fermée (resp. ouverte) dans $Z$, $M$ est fermée (resp. ouverte) dans $X$. b) Soit $f$ une application de $X$ dans un espace topologique $X'$; montrer que si $f|Y$ et $f|Z$ sont continues, $f$ est continue.