Bài tập 4, § 3

Cho $Y, Z$ là hai không gian con của một không gian tôpô $X$ sao cho $X = Y \cup Z$ và sao cho $\overline{A} \cap B = \overline{B} \cap A = \varnothing$, trong đó $A = Y \cap \complement Z$ và $B = Z \cap \complement Y$.

a) Chứng minh rằng nếu $M$ là một tập con bất kỳ của $X$ thì bao đóng của $M$ trong $X$ là hợp của bao đóng của $M \cap Y$ trong $Y$ và bao đóng của $M \cap Z$ trong $Z$. Suy ra rằng nếu $M \cap Y$ đóng (tương ứng, mở) trong $Y$ và $M \cap Z$ đóng (tương ứng, mở) trong $Z$, thì $M$ đóng (tương ứng, mở) trong $X$.

b) Cho $f$ là một ánh xạ từ $X$ vào một không gian tôpô $X'$. Chứng minh rằng nếu $f|Y$ và $f|Z$ liên tục thì $f$ cũng liên tục.