Exercice 3, § 4

Soit $(X_t)_{t \in I}$ une famille infinie d’espaces topologiques, tels que chaque $X_t$ contienne deux points distincts (au moins) $a_t, b_t$ tels qu’il y ait un voisinage de $b_t$ ne contenant pas $a_t$.

a) Pour chaque indice $\kappa \in I$, soit $c_\kappa$ le point de l’espace produit $X = \prod_{t \in I} X_t$ tel que $\mathrm{pr}_\kappa c_\kappa = b_\kappa$ et $\mathrm{pr}_t c_\kappa = a_t$ pour $t \neq \kappa$. Montrer que, dans $X$, l’ensemble $C$ des $c_\kappa$ a tous ses points isolés.

b) Déduire de a) que pour que la topologie de $X$ admette une base dénombrable, il faut et il suffit que $I$ soit dénombrable et que la topologie de chacun des $X_t$ admette une base dénombrable (utiliser l’exerc. 7 de I, p. 90).

c) Montrer que si $I$ n’est pas dénombrable, le point $b = (b_t)$ de $X$ n’admet pas de système fondamental dénombrable de voisinages.