Bài tập 3, § 4

Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ vô hạn các không gian tôpô sao cho mỗi $X_i$ chứa (ít nhất) hai điểm phân biệt $a_i, b_i$ sao cho có một lân cận của $b_i$ không chứa $a_i$. a) Với mỗi chỉ số $x \in I$, cho $c_x$ là điểm của không gian tích

sao cho $\operatorname{pr}_x c_x = b_x$ và $\operatorname{pr}_i c_x = a_i$ với mọi $i \neq x$. Chứng minh rằng mọi điểm của tập hợp $C$ gồm các điểm $c_x$ đều là điểm cô lập. b) Suy ra từ a) rằng tôpô của $X$ có một cơ sở đếm được khi và chỉ khi $I$ là đếm được và tôpô của mỗi $X_i$ có một cơ sở đếm được (sử dụng Bài tập 7 của § 1).

c) Chứng minh rằng nếu tập hợp chỉ số $I$ không đếm được thì điểm $b = (b_i)$ của $X$ không có hệ cơ bản đếm được các lân cận.