Exercice 5, § 4

Soient $K$ l’espace discret formé des deux nombres 0, 1, $A$ un ensemble infini, $X$ l’espace produit $K^{P(A)}$.

a) Soit $J$ une partie finie quelconque de $A$, ayant $p$ éléments. Pour toute partie $H$ de $J$, soit $\mathscr{M}_H$ l’ensemble des parties $L$ de $A$ telles que $L \cap J = H$; les $\mathscr{M}_H$ forment une partition $\varpi_J$ de $P(A)$ en $2^p$ parties. Soit $F_J$ la partie de $X$ formée des éléments $(x_L)_{L \subset A}$ tels que $x_L = x_M$ lorsque $L$ et $M$ appartiennent au même ensemble de la partition $\varpi_J$; $F_J$ est un ensemble fini de $2^{2^p}$ éléments. Si $F$ est la réunion des $F_J$ lorsque $J$ parcourt l’ensemble des parties finies de $A$, $F$ est équipotent à $A$.

b) Montrer que $F$ est partout dense dans $X$. Si $A = \mathbf{N}$, en déduire que $X$ vérifie la condition $(D_{II})$ de l’exerc. 7 de I, p. 90, mais non la condition $(D_{III})$ (exerc. 4).