Bài tập 5, § 4

Cho $K$ là không gian rời rạc gồm hai số $0, 1$; cho $A$ là một tập vô hạn và ký hiệu $X$ là không gian tích $K^{P(A)}$.

a) Cho $J$ là một tập con hữu hạn bất kỳ của $A$; giả sử $J$ có $p$ phần tử. Với mỗi tập con $H$ của $J$, gọi $M_H$ là tập hợp các tập con $L$ của $A$ sao cho $L \cap J = H$; các $M_H$ tạo thành một phân hoạch $\tilde{\omega}_J$ của $P(A)$ thành $2^p$ tập con. Gọi $F_J$ là tập con của $X$ gồm các điểm $(x_L)_{L \subset A}$ sao cho $x_L = x_M$ khi $L$ và $M$ thuộc cùng một tập của phân hoạch $\tilde{\omega}_J$. $F_J$ là một tập hữu hạn, có $2^{2^p}$ phần tử. Nếu $F$ là hợp của các $F_J$ khi $J$ chạy qua tất cả các tập con hữu hạn của $A$, hãy chứng minh rằng $F$ có lực lượng bằng $A$.

b) Hãy chứng minh rằng $F$ trù mật trong $X$. Lấy $A = \mathbf{N}$, hãy suy ra rằng $X$ thỏa mãn điều kiện $(D_{II})$ của § 1, Bài tập 7, nhưng không thỏa mãn điều kiện $(D_{III})$ (Bài tập 4).