Exercice 5, § 5

Soient $X$ un espace topologique, $R$ et $S$ deux relations d’équivalence dans $X$, telles que $R$ entraîne $S$.

a) Montrer que si $S$ est ouverte (resp. fermée), $S/R$ est ouverte (resp. fermée) dans $X/R$ et que la réciproque n’est pas nécessairement exacte. Montrer que $S$ peut être ouverte (resp. fermée) sans que $R$ le soit.

b) On suppose que $R$ est ouverte (resp. fermée). Montrer que, pour que $S/R$ soit ouverte (resp. fermée), il faut et il suffit que $S$ soit ouverte (resp. fermée).