Exercice 15, § 6

Soit $n \mapsto f(n)$ une application surjective de $\mathbf{N}$ dans $\mathbf{N}$, telle que $f^{-1}(m)$ soit fini pour tout $m \in \mathbf{N}$. Montrer que si, pour toute suite $(x_n)$ d’éléments d’un ensemble $X$, on pose $y_n = x_{f(n)}$, les filtres élémentaires associés aux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont identiques.

En déduire que si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont deux suites d’éléments d’un ensemble $X$ telles que le filtre associé à $(b_n)$ soit plus fin que le filtre associé à $(a_n)$, le filtre associé à $(b_n)$ est identique au filtre associé à une suite extraite de $(a_n)$.