Bài tập 15, § 6

Cho $n \to f(n)$ là một ánh xạ của $\mathbf{N}$ lên $\mathbf{N}$ sao cho $f^{-1}(m)$ là hữu hạn với mỗi $m \in \mathbf{N}$. Nếu $(x_n)$ là một dãy bất kỳ trong một tập hợp $X$, đặt $y_n = x_{f(n)}$. Chứng minh rằng các lọc sơ cấp liên kết với các dãy $(x_n)$ và $(y_n)$ là như nhau.

Suy ra rằng nếu $(a_n)$ và $(b_n)$ là hai dãy các phần tử của một tập hợp $X$ sao cho lọc liên kết với $(b_n)$ mịn hơn lọc liên kết với $(a_n)$, thì lọc liên kết với $(b_n)$ là giống với lọc liên kết với một dãy con nào đó của $(a_n)$.