Exercice 20, § 6

On dit qu’un ensemble réticulé $X$ est un réseau booléien s’il est distributif, admet un plus petit élément 0 et un plus grand élément 1 et si, pour tout $x \in X$, il existe $x' \in X$ tel que $\inf(x, x') = 0$ et $\sup(x, x') = 1$; un tel élément est appelé un complément de $x$ dans $X$.

a) Soit $x \mapsto A_x$ l’application injective d’un réseau booléien $X$ dans l’ensemble des parties de l’ensemble $\Omega$ des préfiltres premiers dans $X$, définie dans l’exerc. 18 d’); montrer que si $x'$ est un complément de $x$ dans $X$, on a $A_{x'} = \complement A_x$ dans $\Omega$; en déduire qu’un élément $x$ n’a qu’un seul complément $x'$, que le complément de $x'$ est $x$, et que le complément de $\inf(x, y)$ est $\sup(x', y')$; donner des démonstrations directes de ces propriétés. Montrer que l’élément $d(x, y) = \inf(y, x')$ possède les propriétés énoncées dans A, I, p. 154, exerc. 8; les idéaux de l’anneau booléien $A$ correspondant à $X$, distincts de $A$, sont les copréfiltres sur $X$.

b) Montrer que, dans un réseau booléien $X$, tout préfiltre premier est maximal (remarquer que, pour tout $x \in X$, un préfiltre premier contient nécessairement $x$ ou son complément).

c) Inversement, soit $X$ un ensemble réticulé distributif, ayant un plus petit élément 0 et un plus grand élément 1, et tel que tout préfiltre premier sur $X$ soit maximal; montrer que $X$ est est réseau booléien. (Pour un $x \in X$, considérer le copréfiltre $C$ (exerc. 17) formé des $y \in X$ tels que $\inf(x, y) = 0$; si $x$ n’a pas de complément, il existe un copréfiltre maximal $M$ contenant $x$ et $C$; remarquer que le complémentaire $U$ de $M$ dans $X$ est un préfiltre premier (exerc. 17 b) et 18 b)), et utiliser l’exerc. 17 f)).

d) Montrer que si $X$ est un espace topologique, l’ensemble $\mathfrak{B}$ des parties à la fois ouvertes et fermées de $X$, ordonné par inclusion, est un réseau booléien. Si on prend pour $X$ l’espace topologique associé au filtre de Fréchet (I, p. 36), montrer que le réseau booléien $\mathfrak{B}$ correspondant est infini dénombrable, et ne peut par suite être isomorphe à l’ensemble ordonné $\mathfrak{P}(A)$ de toutes les parties d’un ensemble $A$.