Bài tập 20, § 6

Một dàn $X$ được gọi là một đại số Boolean nếu nó phân phối, có phần tử nhỏ nhất $o$, và phần tử lớn nhất $i$, và nếu với mỗi $x \in X$, có một phần tử $x' \in X$ sao cho $\inf (x, x') = o$ và $\sup (x, x') = i$; một phần tử như vậy được gọi là một phần bù của $x$ trong $X$.

a) Cho $x \to A_x$ là đơn ánh của một đại số Boolean $X$ vào tập hợp các tập con của tập hợp $\Omega$ các tiền lọc nguyên tố trên $X$, được định nghĩa trong Bài tập 18 d). Chứng minh rằng nếu $x'$ là một phần bù của $x$ trong $X$, thì $A_{x'} = \mathbf{C}A_x$ trong $\Omega$; suy ra rằng một phần tử $x$ chỉ có một phần bù $x'$, phần bù của $x'$ là $x$, và phần bù của $\inf (x, y)$ là $\sup (x', y')$; hãy đưa ra các chứng minh trực tiếp cho những mệnh đề này. Các iđêan của vành Boolean $A$ tương ứng với $X$, khác $A$, là các đối tiền lọc trên $X$.

b) Chứng minh rằng trong một đại số Boolean $X$, mọi tiền lọc nguyên tố đều là cực đại (nhận xét rằng, với mỗi $x \in X$, mọi tiền lọc nguyên tố phải chứa $x$ hoặc phần bù của nó).

c) Ngược lại, cho $X$ là một dàn phân phối có phần tử nhỏ nhất $o$ và phần tử lớn nhất $i$, sao cho mọi tiền lọc nguyên tố trên $X$ đều là cực đại. Chứng minh rằng $X$ là một đại số Boolean. (Với một phần tử $x \in X$, xét đối tiền lọc $C$ (Bài tập 17) gồm các $y \in X$ sao cho $\inf (x, y) = o$; nếu $x$ không có phần bù, thì có một đối tiền lọc cực đại $M$ chứa $x$ và $C$; nhận xét rằng phần bù $U$ của $M$ trong $X$ là một tiền lọc nguyên tố [Bài tập 17 b) và 18 b)] và sử dụng Bài tập 17 f)).

d) Chứng minh rằng nếu $X$ là một không gian tôpô thì tập hợp $\mathfrak{B}$ các tập con của $X$ vừa mở vừa đóng là một đại số Boolean nếu có thứ tự theo quan hệ bao hàm. Nếu lấy $X$ là không gian tôpô liên kết với lọc Fréchet (no. 5), hãy chứng minh rằng đại số Boolean $\mathfrak{B}$ thu được như vậy là vô hạn đếm được và do đó không thể đẳng cấu với tập hợp có thứ tự $\mathfrak{P}(A)$ gồm tất cả các tập con của một tập hợp $A$.