Exercice 4, § 7

a) Soient $X, Y$ deux espaces topologiques, $\mathfrak{F}$ un filtre sur $X$, ayant un point adhérent $a$, $\mathfrak{G}$ un filtre sur $Y$, ayant un point adhérent $b$. Montrer que $(a, b)$ est point adhérent au filtre produit $\mathfrak{F} \times \mathfrak{G}$.

b) Dans l’espace produit $\mathbf{Q}^2$, donner un exemple d’une suite $(x_n, y_n)$ sans valeur d’adhérence, bien que chacune des suites $(x_n), (y_n)$ ait une valeur d’adhérence dans $\mathbf{Q}$.