Exercice 1, § 8

a) Soit $X$ un espace topologique; montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes: (Q) Quels que soient les points distincts $x, y$ de $X$, il existe un voisinage de $x$ ne contenant pas $y$. (Q') Toute partie de $X$ réduite à un point est fermée dans $X$. (Q'') Pour tout $x \in X$, l’intersection des voisinages de $x$ est réduite à $x$. On dit qu’un espace $X$ est accessible s’il vérifie ces propriétés. b) Pour qu’un ensemble ordonné $X$, muni de la topologie droite (pour laquelle $X$ est un espace de Kolmogoroff (I, p. 89, exerc. 2)), soit accessible, il faut et il suffit que deux éléments distincts quelconques de $X$ ne soient jamais comparables, et alors la topologie droite sur $X$ est la topologie discrète.