Bài tập 1, § 8

a) Cho $X$ là một không gian tôpô. Chứng minh rằng ba mệnh đề sau là tương đương:

(Q) Nếu $x, y$ là hai điểm phân biệt bất kỳ của $X$, thì có một lân cận của $x$ không chứa $y$.

(Q') Mọi tập con của $X$ gồm một điểm duy nhất đều là tập đóng trong $X$.

(Q'') Với mọi $x \in X$, giao của các lân cận của $x$ chỉ gồm điểm $x$.

Một không gian $X$ được gọi là khả tiếp cận nếu nó thỏa mãn các điều kiện này.

b) Một tập hợp có thứ tự $X$ với tôpô phải (đối với tôpô này $X$ là một không gian Kolmogoroff [§ 1, Bài tập 2]) là khả tiếp cận khi và chỉ khi không có hai phần tử phân biệt nào của $X$ so sánh được, và khi đó tôpô phải trên $X$ là tôpô rời rạc.