Exercice 10, § 8

On considère, dans $\mathbf{R}$, le sous-espace $X$ complémentaire de l’ensemble des points de la forme $1/n$, où $n$ parcourt l’ensemble des entiers rationnels distincts de $0$ et de $\pm 1$. Dans l’espace $X$, soit $S$ la relation d’équivalence dont les classes sont : 1° l’ensemble réduit à $0$; 2° l’ensemble de tous les entiers $\neq 0$; 3° tous les ensembles de la forme $\{x, 1/x\}$, où $x \in X$, $x \neq 0$ et $|x| < 1$.

a) Montrer que, dans $X$, la relation $S$ n’est ni ouverte ni fermée.

b) Montrer que le graphe de $S$ est fermé dans $X \times X$, mais que l’espace quotient $X/S$ n’est pas séparé.*