Bài tập 10, § 8

Cho $X$ là không gian con của $\mathbf{R}$ là phần bù của tập hợp các điểm $1/n$, trong đó $n$ là một số nguyên hữu tỉ khác $0, 1$ hoặc $-1$. Cho $S$ là quan hệ tương đương trên $X$ mà các lớp tương đương của nó là (i) tập hợp $\{ 0 \}$; (ii) tập hợp tất cả các số nguyên khác không; (iii) tất cả các tập hợp có dạng $\{ x, 1/x \}$ trong đó $x \in X$ và $0 < |x| < 1$.

a) Chứng minh rằng quan hệ $S$ trên $X$ không mở cũng không đóng.

b) Chứng minh rằng đồ thị của $S$ là đóng trong $X \times X$, nhưng không gian thương $X/S$ không là Hausdorff. \*