Exercice 11, § 8

Soit $X$ un espace topologique. On considère l’espace produit $Z = \mathbf{R}^X$, et pour chaque $x \in X$, on désigne par $Z_x$ la partie de $Z$ formée des $u \in \mathbf{R}^X$ tels que $u(x) \in \mathbf{Q}$ et $u(y) \notin \mathbf{Q}$ pour $y \in X$ et $y \neq x$. Soit $Y$ le sous-espace du produit $X \times Z$, réunion des ensembles $\{x\} \times Z_x$ lorsque $x$ parcourt $X$. Montrer que l’espace $Y$ est séparé, et que $X$ est homéomorphe à un espace quotient de $Y$*