Exercice 12, § 8

Soit $X$ un espace topologique ayant au moins deux points.

a) Montrer que sur $\mathfrak{P}_0(X)$ les topologies $\mathscr{T}_\Omega$ et $\mathscr{T}_\Phi$ (I, p. 91, exerc. 7) ne sont pas des topologies d’espace accessible.

b) On désigne par $\mathscr{T}_\Theta$ la borne supérieure des topologies $\mathscr{T}_\Omega$ et $\mathscr{T}_\Phi$. Montrer que l’ensemble des parties finies non vides de $X$ est dense dans $X$ pour $\mathscr{T}_\Theta$. Montrer que l’ensemble $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de $X$, muni de la topologie induite par $\mathscr{T}_\Theta$, est un espace de Kolmogoroff; si en outre $X$ est accessible, il en est de même de $\mathfrak{F}(X)$.

c) On suppose $X$ accessible. Montrer que pour que l’espace $\mathfrak{F}(X)$, muni de la topologie induite par $\mathscr{T}_\Theta$, soit séparé, il faut et il suffit que $X$ soit régulier.