Bài tập 12, § 8

Cho $X$ là một không gian tôpô có ít nhất hai điểm. (a) Chứng minh rằng các tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ và $\mathfrak{T}_\Phi$ trên $\mathfrak{P}_0(X)$ (§ 2, Bài tập 7) không phải là các tôpô của một không gian khả đạt. (b) Gọi $\mathfrak{T}_\Theta$ là cận trên bé nhất của các tôpô $\mathfrak{T}_\Omega$ và $\mathfrak{T}_\Phi$. Chứng minh rằng tập hợp $\mathfrak{F}(X)$ gồm các tập con đóng khác rỗng của $X$, với tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$, là một không gian Kolmogoroff, và nếu $X$ là khả đạt thì $\mathfrak{F}(X)$ cũng vậy. (c) Giả sử $X$ là khả đạt, chứng minh rằng không gian $\mathfrak{F}(X)$ (với tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$) là Hausdorff khi và chỉ khi $X$ là chính quy.