Exercice 18, § 8

Soient $X_1, X_2$ deux ensembles, $\mathfrak{F}_i$ un filtre sur $X_i$ ($i = 1, 2$), et soit $f$ une application de $X = X_1 \times X_2$ dans un espace régulier $Y$, telle que pour tout $x_1 \in X_1$, $\lim_{x_2, \mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2) = g(x_1)$ existe. Pour qu’un point $a \in Y$ soit valeur d’adhérence de $g$ suivant le filtre $\mathfrak{F}_1$, il faut et il suffit que, quels que soient le voisinage $V$ de $a$ dans $Y$ et l’ensemble $A_1 \in \mathfrak{F}_1$, il existe $x_1 \in A_1$ et $A_2 \in \mathfrak{F}_2$ tels que $f(\{x_1\} \times A_2) \subset V$.