Bài tập 18, § 8

Cho $X_1, X_2$ là hai tập hợp, cho $\mathfrak{F}_i$ là một bộ lọc trên $X_i$ ($i = 1, 2$), và cho $f$ là một ánh xạ từ $X_1 \times X_2$ vào một không gian chính quy $Y$ sao cho, với mỗi $x_1 \in X_1$, tồn tại $\lim_{x_2, \mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2) = g(x_1)$.

Chứng minh rằng một điểm $a \in Y$ là một điểm tụ của $g$ đối với bộ lọc $\mathfrak{F}_1$ khi và chỉ khi, với mọi lân cận $V$ của $a$ trong $Y$ và mọi tập hợp $A_1 \in \mathfrak{F}_1$, tồn tại $x_1 \in A_1$ và $A_2 \in \mathfrak{F}_2$ sao cho $f(\{x_1\} \times A_2) \subset V$.