Exercice 21, § 8

Soit X un espace séparé sans point isolé, et soit \mathscr{T}_0 sa topologie. On désigne par \mathscr{M} l’ensemble des complémentaires des parties dénombrables A de X telles que \overline{A} n’a qu’un nombre fini de points isolés. Montrer que si \mathscr{T} est la topologie sur X engendrée par la réunion de \mathscr{M} et de l’ensemble des parties ouvertes pour \mathscr{T}_0, on a \mathscr{T}* = \mathscr{T}_0 (exerc. 20) et toute suite convergente pour \mathscr{T} n’a qu’un nombre fini de termes distincts (ce qui implique que pour \mathscr{T} aucun point ne possède de système fondamental dénombrable de voisinages, bien que X lui-même puisse être dénombrable et que tout point de X soit alors intersection d’une famille dénombrable de voisinages de ce point).