Exercice 29, § 8

a) Soit R une relation d’équivalence séparée dans un espace topologique X. Dans l’espace $\mathfrak{F}(X)$ des parties fermées non vides de X, muni de la topologie induite par $\mathscr{T}_\Theta$ (I, p. 101, exerc. 12), montrer que tout $A \in \mathfrak{F}(X)$ adhèrent à $X/R$ est contenu dans une classe d’équivalence suivant R (raisonner par l’absurde).

b) On suppose en outre que X soit régulier et la relation R ouverte. Montrer que $X/R$ est alors fermé dans $\mathfrak{F}(X)$ pour la topologie $\mathscr{T}_\Theta$ (utiliser la prop. 11 de I, p. 51).

¶(30) Soit X un espace régulier. Montrer que, pour que X vérifie la condition (D_v) de I, p. 90, exerc. 7, il faut et il suffit que toute famille localement finie d’ensembles ouverts non vides dans X soit dénombrable. (Pour prouver que la condition est nécessaire, considérer un ensemble localement fini $\mathfrak{U}$ d’ensembles ouverts dans X. Munir X d’un bon ordre; l’ensemble P des $x \in X$ qui sont plus petits éléments (pour cet ordre) d’un ensemble de $\mathfrak{U}$ est équipotent à $\mathfrak{U}$; si pour tout $x \in P$, $V(x)$ est un des ensembles de U ayant x pour plus petit élément, l’ensemble $\mathfrak{V}$ des $V(x)$ pour $x \in P$ est localement fini et équipotent à $\mathfrak{U}$, et pour $y \in P$ et $y > x$, on a $x \notin V(y)$. En utilisant la régularité de X et la prop. 4 de I, p. 6, montrer que pour tout $x \in P$, il existe un ensemble ouvert $W(x)$ tel que $x \in W(x) \subset V(x)$ et que, lorsque x parcourt P, les $\overline{W(x)}$ soient deux à deux sans point commun).