Bài tập 29, § 8

a) Cho R là một quan hệ tương đương tách biệt trong một không gian tôpô X. Trong không gian $\mathfrak{F}(X)$ của các tập hợp đóng khác rỗng của X, được trang bị tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$ (I, p. 101, exerc. 12), bây giờ chứng minh rằng mọi $A \in \mathfrak{F}(X)$ bám theo $X/R$ đều được chứa trong một lớp tương đương theo R (lập luận bằng phản chứng).

b) Giả sử thêm rằng X là chính quy và quan hệ R là mở. Bây giờ chứng minh rằng $X/R$ khi đó là đóng trong $\mathfrak{F}(X)$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$ (dùng mệnh đề 11 của I, p. 51).

¶(30) Cho X là một không gian chính quy. Bây giờ chứng minh rằng, để X thỏa mãn điều kiện (D_v) của I, p. 90, exerc. 7, thì điều kiện cần và đủ là mọi họ hữu hạn địa phương các tập hợp mở khác rỗng trong X đều đếm được. (Để chứng minh điều kiện là cần, xét một tập hợp hữu hạn địa phương $\mathfrak{U}$ các tập hợp mở trong X. Trang bị X một cấp tốt; tập hợp P gồm các $x \in X$ là những phần tử nhỏ nhất (đối với cấp này) của một phần tử của $\mathfrak{U}$ là đẳng lực với $\mathfrak{U}$; nếu với mọi $x \in P$, $V(x)$ là một trong các tập hợp của U có x là phần tử nhỏ nhất, thì tập hợp $\mathscr{V}$ của các $V(x)$ với $x \in P$ là hữu hạn địa phương và đẳng lực với $\mathfrak{U}$, và với $y \in P$ và $y > x$, ta có $x \notin V(y)$. Sử dụng tính chính quy của X và mệnh đề 4 của I, p. 6, bây giờ chứng minh rằng với mọi $x \in P$, tồn tại một tập hợp mở $W(x)$ sao cho $x \in W(x) \subset V(x)$ và rằng, khi x chạy qua P, các $\overline{W(x)}$ từng đôi một không có điểm chung).