Exercice 12, § 9

Soient X_0 un ensemble bien ordonné non dénombrable, ayant un plus grand élément, a son plus petit élément, b le plus petit des éléments x ∈ X_0 tels que l’intervalle [a, x[ soit non dénombrable. On désigne par X l’intervalle [a, b[ muni de la topologie T_−(X).

a) L’espace X est localement compact et non compact (I, p. 105, exerc. 2) et toute suite dans X admet une valeur d’adhérence (noter que toute partie dénombrable de X est majorée).

b) Soit f une application de X dans lui-même telle que, pour tout x assez grand, on ait f(x) < x ; montrer qu’il existe c ∈ X tel que, pour tout x ∈ X, il existe y ≥ x tel que f(y) ≤ c. (Raisonner par l’absurde, en formant une suite (z_n) de points de X telle que z_{n+1} soit le plus petit des éléments z′ ∈ X tels que pour tout x ≥ z′, on ait f(x) ≥ z_n.)

c) Déduire de b) que X n’est pas paracompact.

¹ Cet exemple (inédit) nous a été communiqué par D. Zelinsky.