Bài tập 12, § 9

Cho X_0 là một tập được sắp thứ tự tốt không đếm được, có một phần tử lớn nhất, a là phần tử nhỏ nhất của nó, b là nhỏ nhất trong các phần tử x ∈ X_0 sao cho khoảng [a, x[ là không đếm được. Ta ký hiệu X là khoảng [a, b[ được trang bị tôpô T_−(X).

a) Không gian X là địa phương compact và không compact (I, p. 105, Bài tập 2) và mọi dãy trong X đều có một giá trị bám dính (chú ý rằng mọi tập con đếm được của X đều bị chặn trên).

b) Cho f là một ánh xạ từ X vào chính nó sao cho, với mọi x đủ lớn, ta có f(x) < x; bây giờ chứng minh rằng tồn tại c ∈ X sao cho, với mọi x ∈ X, tồn tại y ≥ x sao cho f(y) ≤ c. (Lý luận bằng phản chứng, bằng cách lập một dãy (z_n) các điểm của X sao cho z_{n+1} là nhỏ nhất trong các phần tử z′ ∈ X sao cho với mọi x ≥ z′, ta có f(x) ≥ z_n.)

c) Suy ra từ b) rằng X không paracompact.

¹ Ví dụ này (chưa công bố) đã được D. Zelinsky truyền đạt cho chúng tôi.