Exercice 24, § 9

a) Montrer que dans un espace absolument fermé dénombrable X, l’ensemble des points isolés est partout dense. (Raisonner par l’absurde, en rangeant en une suite les points de X, et formant par récurrence un recouvrement ouvert dénombrable $(\overline{U}_n)$ de X tel qu’aucune réunion finie des $\overline{U}_n$ ne soit un recouvrement de X). b) Donner un exemple d’espace absolument fermé complètement séparé qui ne soit pas un espace de Lindelöf (dans le produit $[0, 1] \times [0, 1]$, considérer les complémentaires des ensembles $A \times \{0\}$, où A parcourt l’ensemble des parties de $[0, 1]$, et appliquer la méthode générale de I, p. 103, exerc. 20 c)). Cet espace vérifie la propriété (D{II}) de I, p. 90, exerc. 7, mais non la propriété (D_{III}). c) Soient $X_0$ un espace compact sans point isolé, $\mathfrak{M}$ l’ensemble des complémentaires des parties dénombrables de $X_0$, les ensembles de $\mathfrak{M}$ étant donc partout denses (cf. a)). Soit $\mathscr{T}$ la topologie engendrée par les ensembles ouverts de $X_0$ et les ensembles de $\mathfrak{M}$. Montrer que l’espace X obtenu en munissant $X_0$ de la topologie $\mathscr{T}$ est absolument fermé, complètement séparé, et est un espace de Lindelöf ne vérifiant pas la condition (D_{II}) de l’exerc. 7 de I, p. 90, et dans lequel aucun point n’a de système fondamental dénombrable de voisinages et aucune suite infinie dont tous les termes sont distincts n’a de valeur d’adhérence. Si dans $X_0$ tout sous-espace ouvert est un espace de Lindelöf (cf. I, p. 107, exerc. 16 c)), tout sous-espace ouvert de X est un espace de Lindelöf et en particulier X vérifie (D_{III}) (I, p. 107, exerc. 16 a)). Il en est ainsi lorsque $X_0 = \{0, 1\}$; mais montrer que dans ce cas il y a des parties fermées dénombrables de X qui ne sont pas intersections dénombrables d’ensembles ouverts de X (cf. IX, § 5, n° 3).*