Bài tập 24, § 9

(a) Bây giờ chứng minh rằng trong một không gian đóng tuyệt đối đếm được X, tập hợp các điểm cô lập là trù mật khắp nơi. (Lập luận bằng phản chứng, bằng cách sắp xếp các điểm của X thành một dãy, và lập theo quy nạp một phủ mở đếm được $(\overline{U}_n)$ của X sao cho không có hợp hữu hạn nào của các $\overline{U}_n$ là một phủ của X). b) Cho một ví dụ về một không gian đóng tuyệt đối hoàn toàn phân tách được nhưng không phải là không gian Lindelöf (trong tích $[0, 1] \times [0, 1]$, xét các phần bù của các tập hợp $A \times \{0\}$, trong đó A chạy qua tập hợp các tập con của $[0, 1]$, và áp dụng phương pháp tổng quát của I, p. 103, exerc. 20 c)). Không gian này thỏa mãn tính chất (D{II}) của I, p. 90, exerc. 7, nhưng không thỏa mãn tính chất (D_{III}). c) Cho $X_0$ là một không gian compact không có điểm cô lập, $\mathfrak{M}$ là tập hợp các phần bù của các tập hợp đếm được của $X_0$, các tập hợp của $\mathfrak{M}$ do đó trù mật khắp nơi (xem a)). Cho $\mathfrak{T}$ là tôpô sinh bởi các tập mở của $X_0$ và các tập hợp của $\mathfrak{M}$. Bây giờ chứng minh rằng không gian X thu được bằng cách trang bị cho $X_0$ tôpô $\mathfrak{T}$ là đóng tuyệt đối, hoàn toàn phân tách được, và là một không gian Lindelöf không thỏa mãn điều kiện (D_{II}) của exerc. 7 của I, p. 90, và trong đó không điểm nào có một hệ cơ bản đếm được các lân cận và không có dãy vô hạn nào có các số hạng đôi một phân biệt có một giá trị tụ. Nếu trong $X_0$ mọi không gian con mở đều là một không gian Lindelöf (xem I, p. 107, exerc. 16 c)), thì mọi không gian con mở của X đều là một không gian Lindelöf và đặc biệt X thỏa mãn (D_{III}) (I, p. 107, exerc. 16 a)). Điều này đúng khi $X_0 = \{0, 1\}$; nhưng bây giờ chứng minh rằng trong trường hợp này có các tập hợp đóng đếm được của X không phải là các giao đếm được của các tập mở của X (xem IX, § 5, n° 3).*