Exercice 26, § 9

a) Soit X un espace accessible, et soit $\Phi$ l’ensemble des filtres sur X possédant une base formée d’ensembles fermés. Montrer que l’ensemble $\Phi$ est inductif. Soit $X''$ l’ensemble des filtres maximaux dans $\Phi$.

b) Pour tout ensemble ouvert U de X, soit $U^*$ l’ensemble des filtres $\mathfrak{F} \in X''$ tels que $U \in \mathfrak{F}$. Si U, V sont deux ensembles ouverts dans X, on a $(U \cap V)^* = U^* \cap V^*$ et $(U \cup V)^* = U^* \cup V^*$ (observer que si $\mathfrak{F} \in X''$ est tel que $U \notin \mathfrak{F}$, alors $X - U \in \mathfrak{F}$). Montrer que les $U^*$ forment une base d’une topologie sur $X''$, pour laquelle $X''$ est quasi-compact (vérifier l’axiome (C'') grâce à l’observation précédente) et accessible (si $\mathfrak{F}, \mathfrak{G}$ sont deux éléments distincts de $X''$, montrer qu’il existe dans X deux ensembles fermés A, B sans point commun tels que $A \in \mathfrak{F}, B \in \mathfrak{G}$).

c) Pour tout $x \in X$, soit $\varphi(x)$ l’ultrafiltre sur X ayant pour base l’unique ensemble $\{x\}$. Montrer que $\varphi$ est un homéomorphisme de X sur une partie partout dense de $X''$. Si X est quasi-compact (et accessible) $\varphi(X) = X''$.

d) Montrer que pour toute application continue $f$ de X dans un espace compact Y, il existe une application continue $g : X'' \to Y$ et une seule telle que $f = g \circ \varphi$.

e) Soit $\tilde{X}$ l’espace séparé universel associé à $X''$ (I, p. 104, exerc. 27); montrer que l’application canonique $\psi : X'' \to \tilde{X}$ est surjective et que $\tilde{X}$ est compact. Toute application continue $f$ de X dans un espace compact Y s’écrit donc d’une seule manière $f = h \circ \psi \circ \varphi$, où $h : \tilde{X} \to Y$ est continue.