Bài tập 26, § 9

a) Cho X là một không gian khả tiếp cận, và cho $\Phi$ là tập hợp các lọc trên X có một cơ sở được tạo thành bởi các tập đóng. Bây giờ chứng minh rằng tập hợp $\Phi$ là quy nạp. Cho $X''$ là tập hợp các lọc cực đại trong $\Phi$.

b) Với mọi tập mở U của X, cho $U^*$ là tập hợp các lọc $\mathfrak{F} \in X''$ sao cho $U \in \mathfrak{F}$. Nếu U, V là hai tập mở trong X, ta có $(U \cap V)^* = U^* \cap V^*$ và $(U \cup V)^* = U^* \cup V^*$ (nhận xét rằng nếu $\mathfrak{F} \in X''$ là sao cho $U \notin \mathfrak{F}$, thì $X - U \in \mathfrak{F}$). Bây giờ chứng minh rằng các $U^*$ tạo thành một cơ sở của một tôpô trên $X''$, mà đối với nó $X''$ là tựa compact (kiểm tra tiên đề (C'') bằng nhận xét trước đó) và khả tiếp cận (nếu $\mathfrak{F}, \mathfrak{G}$ là hai phần tử phân biệt của $X''$, chứng minh rằng tồn tại trong X hai tập đóng A, B không có điểm chung sao cho $A \in \mathfrak{F}, B \in \mathfrak{G}$).

c) Với mọi $x \in X$, cho $\varphi(x)$ là lọc siêu trên X có cơ sở là tập duy nhất $\{x\}$. Bây giờ chứng minh rằng $\varphi$ là một đồng phôi của X lên một tập con trù mật khắp nơi của $X''$. Nếu X là tựa compact (và khả tiếp cận) thì $\varphi(X) = X''$.

d) Bây giờ chứng minh rằng với mọi ánh xạ liên tục $f$ của X vào một không gian compact Y, tồn tại một và chỉ một ánh xạ liên tục $g : X'' \to Y$ sao cho $f = g \circ \varphi$.

e) Cho $\tilde{X}$ là không gian tách phổ quát liên kết của $X''$ (I, p. 104, bài tập.