Exercice 27, § 9

Si X est un espace discret, montrer que les espaces $X''$ et $\tilde{X}$ définis dans l’exerc. 26 sont identiques, et que si $\mathscr{T}$ est la topologie de l’espace $X'$ défini dans l’exerc. 25, l’espace $X''$ s’identifie à l’espace $X'$ muni de la topologie $\mathscr{T}^*$ semi-régulière associée à $\mathscr{T}$ (I, p. 103, exerc. 20). En outre, l’ensemble $X''$ s’identifie canoniquement à l’ensemble des ultrafiltres sur X, et on dit que l’espace compact $X''$ est l’espace des ultrafiltres de X.