Exercice 30, § 9

On dit qu’un espace topologique X est localement quasi-compact si tout point de X admet un système fondamental de voisinages quasi-compacts.

a) Montrer que dans un espace localement quasi-compact, tout ensemble quasi-compact admet un système fondamental de voisinages quasi-compacts.

b) Montrer que tout sous-espace localement fermé d’un espace localement quasi-compact est localement quasi-compact.

c) Sur le disque fermé euclidien B: $\|x\| \leq 1$ dans le plan $\mathbf{R}^2$, on considère la topologie $\mathscr{T}$ plus fine que la topologie $\mathscr{T}_0$ induite par celle de $\mathbf{R}^2$, telle que pour $\mathscr{T}$ le filtre des voisinages d’un point $x \neq (1, 0)$ de B soit identique au filtre des voisinages de ce point pour $\mathscr{T}_0$, mais un système fondamental de voisinages de $(1, 0)$ soit formé des réunions de $\{(1, 0)\}$ et de la trace sur le disque ouvert $B_0: \|x\| < 1$ d’un disque ouvert de centre $(1, 0)$. Soit Y l’ensemble B muni de la topologie $\mathscr{T}$; on considère dans Y la relation d’équivalence dont les classes sont l’ensemble S des $x \neq (1, 0)$ tels que $\|x\| = 1$, et les parties de Y réduites à un point non dans S. Montrer que l’espace quotient $X = Y/R$ est quasi-compact mais non localement quasi-compact.