Bài tập 30, § 9

Một không gian tôpô X được gọi là địa phương quasi-compact nếu mỗi điểm của X có một hệ cơ bản các lân cận quasi-compact.

a) Bây giờ chứng minh rằng trong một không gian địa phương quasi-compact, mọi tập hợp quasi-compact đều có một hệ cơ bản các lân cận quasi-compact.

b) Bây giờ chứng minh rằng mọi không gian con đóng địa phương của một không gian địa phương quasi-compact là địa phương quasi-compact.

*c) Trên đĩa đóng Euclid B: $\|x\| \leq 1$ trong mặt phẳng $\mathbf{R}^2$, xét tôpô $\mathfrak{T}$ mịn hơn tôpô $\mathfrak{T}_0$ cảm sinh bởi tôpô của $\mathbf{R}^2$, sao cho đối với $\mathfrak{T}$ bộ lọc lân cận của một điểm $x \neq (1, 0)$ của B trùng với bộ lọc lân cận của điểm này đối với $\mathfrak{T}_0$, nhưng một hệ cơ bản các lân cận của $(1, 0)$ được tạo bởi các hợp của $\{(1, 0)\}$ và vết trên đĩa mở $B_0: \|x\| < 1$ của một đĩa mở có tâm $(1, 0)$. Gọi Y là tập hợp B được trang bị tôpô $\mathfrak{T}$; xét trong Y quan hệ tương đương mà các lớp của nó là tập hợp S gồm các $x \neq (1, 0)$ sao cho $\|x\| = 1$, và các tập con của Y rút gọn về một điểm không thuộc S. Bây giờ chứng minh rằng không gian thương $X = Y/R$ là quasi-compact nhưng không địa phương quasi-compact.