Exercice 9, § 9

Soient X un espace topologique, (G_α)_{α ∈ A} une famille de graphes d’équivalences dans X, dont l’ensemble d’indices est préordonné filtrant croissant. Soit R_α la relation (x, y) ∈ G_α et soit φ_α l’application canonique X → X/R_α. On suppose que pour α ≤ β, la relation R_β entraîne R_α ; soit alors φ_{αβ} l’application canonique X/R_β → X/R_α ; (X/R_α, φ_{αβ}) est un système projectif d’espaces topologiques ; soit Y = lim (X/R_α).

a) Soit g : X → Y l’application continue lim φ_α. Montrer que g(X) est partout dense dans Y, et que pour tout x ∈ X, g^{-1}(g(x)) est la classe de x pour la relation d’équivalence dont le graphe est l’intersection des G_α.

b) On suppose que les relations d’équivalence R_α soient fermées, et que pour tout x ∈ X et tout voisinage V de x, il existe un indice α tel que la classe de x pour R_α soit contenue dans V. Montrer que dans ces conditions g est une application ouverte de X sur g(X).

c) Si on suppose que les classes suivant les relations R_α soient des ensembles quasi-compacts fermés, alors g est surjective.